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贪心算法原理及其应用

概述

贪心算法应该算是那种“只闻其声不见其人”的算法,我们可能在好多地方都会听到贪心算法这一概念,并且它的算法思想也比较简单就是说算法只保证局部最优,进而达到全局最优。但我们实际编程的过程中用的并不是很多,究其原因可能是贪心算法使用的条件比较苛刻,所要解决的问题必须满足贪心选择性质---所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择,即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素,也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。

贪心算法

由于贪心算法本身的特殊性,我们在使用贪心算法之前必须要进行证明,保证算法满足贪心选择性质。具体的证明方法无外乎就是通过数学归纳法来进行证明。但大部分人可能并不喜欢枯燥的公式,因而我这里提供一个使用贪心算法的小技巧。由于贪心算法某种程度上算是动态规划算法的特例,使用条件比较苛刻,因而能够用动态规划解决的问题尽量都是用动态规划来进行先解决,如果在用完动态规划之后,提交时发现问题超时,并且进行状态压缩之后仍然超时,此时我们就可以**考虑使用贪心算法来进行解决。**最后强调一下,我们在使用贪心算法之前,如果要保证解法的绝对正确,一定要对问题进行证明,切记,切记!!

下边我们以区间调度问题为例,来讲一下贪心算法到底该如何取用。

区间调度问题

问题描述:

给你很多形如 [start, end] 的闭区间,请你设计一个算法,算出这些区间中最多有几个互不相交的区间。

举个例子,intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]],这些区间最多有 2 个区间互不相交,即 [[1,3], [3,6]],你的算法应该返回 2。注意边界相同并不算相交。

这个问题大眼一看好像有很多贪心策略可供选择,比如我们可以选择区间最短的?或者选择开始最早的?。。。

但是上面几种策略,我们都可以比较容易的举出反例来排除,同时这也是贪心算法的另一个小技巧--虽然好多时候直接证明贪心策略的正确性很难,但是我们可以从反证法入手,对贪心策略进行证伪,排除许多错误的贪心策略。😄😄

好了,说了这么多,那针对该问题正确的贪心策略到底是哪个?

其实正确的思路也比较简单,可以分成下面三步:

  1. 从区间集合中选择一个区间 x,这个 x 是所有区间中结束最早的(end 最小)。
  2. 把所有与 x 区间相交的区间从区间集合中删除掉。
  3. 重复 1 和 2,直到区间集合为空。之前选出的那些 x 的集合就是最大的不想交子集。

这个思路实现成算法的话,可以按照每个区间的 end 数值进行升序排序,因为这样处理以后实现步骤 1 和步骤 2 就会容易很多。

我们通过下面这个动图来辅助理解其整个过程。

由于我们在计数之前进行了排序,所以所有与 x 相交的区间必然会和 x 的 end 相交;如果一个区间不想与 x 的 end 相交,它的 start 必须要大于或者等于 x 的 end。

具体实现的代码如下:

 1 public int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {
 2    if (intervals.length == 0) {
 3      return 0;
 4    }
 5    Arrays.sort(
 6        intervals,
 7        new Comparator<int[]>() {
 8          @Override
 9          public int compare(int[] o1, int[] o2) {
10            return o1[1] - o2[1];
11          }
12        });
13	//排序后的第一个必然可用
14    int count = 1;
15    int x_end = intervals[0][1];
16    for (int[] interval : intervals) {
17      if (interval[0] >= x_end) {
18        count++;
19        x_end = interval[1];
20      }
21    }
22    return count;
23  }

应用

如果学会了上面的区间调度问题的话,leetCode 上边有两个题目,我们便都可以拿下了。

image-20201103145203020

这个问题大眼一看好像和我们之前讲的那个区间调度问题毫不相关,但仔细分析一下,好像是一模一样的问题,如果最多有 n 个不重叠的区间,那么就至少需要 n 个箭头穿透所有区间。

因而问题也就转化成了,寻找不重叠区间的个数,但我们要注意的一点是,在 intervalSchedule 算法中,如果两个区间的边界触碰,不算重叠;而按照这道题目的描述,箭头如果碰到气球的边界气球也会爆炸,所以说相当于区间的边界触碰也算重叠。

4

代码实现如下:

 1public int findMinArrowShots(int[][] points) {
 2    if (points.length <= 0) {
 3      return 0;
 4    }
 5    // 在排序的过程中要考虑溢出情况的发生
 6    Arrays.sort(points, (a, b) -> Integer.compare(a[1], b[1]));
 7    int count = 1;
 8    int x_end = points[0][1];
 9    for (int[] point : points) {
10      if (point[0] > x_end) {
11        count++;
12        x_end = point[1];
13      }
14    }
15    return count;
16  }

总结

本文主要结合一个例子,讲了贪心算法的使用方式。

贪心算法实现起来容易,但难在证明。因而文中提供了两个小窍门辅助判断是否使用贪心算法:

  1. 在使用考虑贪心算法之前,先考虑使用动态规划(考虑状态压缩)解决该问题,如果问题依然超时,则考虑使用贪心算法。
  2. 在确定贪心策略之前,先用一些特殊的例子验证贪心策略的正确性。对于正确的贪心策略,为了保证算法的绝对正确,要通过数学归纳法进行验证。

标题:贪心算法原理及其应用
作者:vcjmhg
地址:https://vcjmhg.top/greedy-algorithm